{
  "id": "ehrhart-volume-conjecture",
  "org": "OpenAI",
  "topic": "Convex geometry",
  "published": "2026-08-01",
  "status": "formalized-provider-reported",
  "method": "Provider announcement; formal certificates reported, not rerun here",
  "math": "Convex geometry",
  "source": "https://openai.com/index/ten-advances-in-mathematics/",
  "source_kind": "provider_announcement",
  "checked": "2026-10-29",
  "editorial_published": "2026-10-29",
  "editorial_method": "AI-assisted original educational interpretation; primary announcement inspected",
  "translations": {
    "en": {
      "title": "How large can a convex body with one interior lattice point be?",
      "simple": "Take a solid shape without dents and place it on an integer grid. Suppose its center of mass is the only grid point strictly inside. How much volume can the shape have?",
      "research": "The August release reports a resolution of Ehrhart’s volume conjecture in every dimension for the stated centroid condition.",
      "academic": "The centroid condition carries real mathematical content: merely requiring one interior lattice point is a different problem. One must also specify the ambient lattice and the normalization of volume. A robust verification checks that the formal statement uses the same interior, centroid and convexity assumptions as the natural-language theorem.",
      "impact": "Potentially connects discrete lattice constraints to continuous geometric size, with implications for the geometry of numbers.",
      "caution": "The result applies to a precisely constrained class of convex bodies. This page has not checked the formal certificate or classified equality cases."
    },
    "nl": {
      "title": "Hoe groot kan een convex lichaam met één inwendig roosterpunt zijn?",
      "simple": "Leg een vorm zonder deuken op een rooster van gehele getallen. Het zwaartepunt is het enige roosterpunt strikt binnen de vorm. Hoe groot kan het volume worden?",
      "research": "De publicatie meldt een oplossing van Ehrharts volumeconjectuur in elke dimensie, onder de genoemde zwaartepuntvoorwaarde.",
      "academic": "Die voorwaarde is essentieel: alleen één inwendig roosterpunt eisen is een andere vraag. Ook roosterkeuze en volumenormalisatie tellen mee. Vergelijk de definities van inwendig, zwaartepunt en convexiteit in de formele en gewone formulering.",
      "impact": "Mogelijke nieuwe verbinding tussen discrete roosterbeperkingen en continue meetkunde.",
      "caution": "De stelling geldt voor een precies begrensde klasse lichamen; certificaat en gelijkheidsgevallen zijn hier niet gecontroleerd."
    },
    "de": {
      "title": "Wie groß darf ein konvexer Körper mit einem inneren Gitterpunkt sein?",
      "simple": "Eine Form ohne Einbuchtungen liegt auf einem ganzzahligen Gitter. Ihr Schwerpunkt ist der einzige Gitterpunkt im Inneren. Wie groß kann ihr Volumen werden?",
      "research": "Die August-Veröffentlichung meldet eine Lösung der Ehrhart-Volumenvermutung in jeder Dimension unter dieser Schwerpunktbedingung.",
      "academic": "Die Schwerpunktbedingung ist wesentlich: Nur einen inneren Gitterpunkt zu verlangen ergibt eine andere Frage. Auch das zugrunde liegende Gitter und die Volumennormierung zählen. Formale und informelle Definitionen von Innerem, Schwerpunkt und Konvexität müssen übereinstimmen.",
      "impact": "Mögliche neue Verbindung zwischen diskreten Gitterbedingungen und kontinuierlicher geometrischer Größe.",
      "caution": "Die Aussage betrifft eine genau eingeschränkte Klasse. Zertifikat und Gleichheitsfälle wurden hier nicht geprüft."
    },
    "fr": {
      "title": "Quel volume pour un corps convexe avec un seul point intérieur du réseau ?",
      "simple": "Placez une forme sans creux sur un réseau entier. Son centre de gravité est l’unique point du réseau strictement intérieur. Jusqu’où son volume peut-il croître ?",
      "research": "La publication d’août annonce une résolution de la conjecture de volume d’Ehrhart en toute dimension sous cette condition sur le centre de gravité.",
      "academic": "La condition du centroïde est essentielle : exiger seulement un point intérieur pose une autre question. Il faut préciser le réseau et la normalisation du volume, puis vérifier la correspondance des définitions formelles et usuelles de l’intérieur, du centroïde et de la convexité.",
      "impact": "Peut relier des contraintes discrètes de réseau à une mesure géométrique continue.",
      "caution": "La classe de corps est précisément restreinte. Le certificat et les cas d’égalité n’ont pas été examinés ici."
    },
    "es": {
      "title": "¿Qué volumen admite un cuerpo convexo con un único punto interior del retículo?",
      "simple": "Coloca una forma sin entrantes sobre una cuadrícula entera. Su centro de gravedad es el único punto de la cuadrícula estrictamente interior. ¿Cuánto puede crecer su volumen?",
      "research": "La publicación de agosto anuncia una resolución de la conjetura de volumen de Ehrhart en toda dimensión bajo esa condición del centroide.",
      "academic": "La condición del centroide importa: exigir solamente un punto interior plantea otra pregunta. Deben fijarse el retículo y la normalización del volumen. También hay que comparar las definiciones formales y usuales de interior, centroide y convexidad.",
      "impact": "Podría conectar restricciones discretas de retículos con tamaño geométrico continuo.",
      "caution": "Se trata de una clase de cuerpos precisamente limitada. Aquí no se revisaron el certificado ni los casos de igualdad."
    },
    "it": {
      "title": "Quale volume può avere un corpo convesso con un solo punto interno del reticolo?",
      "simple": "Colloca una forma senza rientranze su una griglia intera. Il suo baricentro è l’unico punto della griglia strettamente interno. Quanto può crescere il volume?",
      "research": "La pubblicazione di agosto annuncia una soluzione della congettura di volume di Ehrhart in ogni dimensione sotto questa condizione sul baricentro.",
      "academic": "La condizione sul centroide è essenziale: richiedere soltanto un punto interno pone un’altra domanda. Occorre fissare reticolo e normalizzazione del volume, confrontando anche le definizioni formali e usuali di interno, centroide e convessità.",
      "impact": "Può collegare vincoli discreti dei reticoli alla grandezza geometrica continua.",
      "caution": "La classe di corpi è precisamente delimitata. Certificato e casi di uguaglianza non sono stati controllati qui."
    }
  },
  "translation_method": "AI-assisted explanatory translations; not native mathematical peer review",
  "url": "https://ai-tracking.sevensa.nl/en/discoveries/ehrhart-volume-conjecture/",
  "as_of": "2026-10-29"
}