{
  "id": "erdos-unit-distance",
  "org": "OpenAI",
  "topic": "Discrete geometry",
  "published": "2026-05-20",
  "status": "external-math-review",
  "method": "Proof checked by external mathematicians",
  "math": "u(n) = max # pairs at distance 1",
  "source": "https://openai.com/index/model-disproves-discrete-geometry-conjecture/",
  "source_kind": "provider_announcement",
  "checked": "2026-10-29",
  "translations": {
    "en": {
      "title": "A new construction for the Erdős unit-distance problem",
      "simple": "Put many points on paper and connect every pair exactly one unit apart. How many lines can you get? An OpenAI model found examples that beat a long-standing guess about the best arrangement.",
      "research": "OpenAI reports an infinite family of configurations exceeding the traditionally expected square-grid behavior by a polynomial factor. External mathematicians checked the argument and wrote accompanying remarks.",
      "academic": "The planar unit-distance function u(n) counts the maximal number of distance-one pairs among n points. The result refutes a conjectured optimality of lattice-style constructions by giving an improved lower-bound family. It does not determine the exact asymptotics of u(n) or resolve every variant of the unit-distance problem.",
      "impact": "A concrete example of a new mathematical construction checked by external specialists; may inspire different methods in combinatorial geometry.",
      "caution": "Externally checked according to the published announcement; this site has not audited every step or established journal peer review."
    },
    "nl": {
      "title": "Nieuwe constructie voor Erdős' eenheidsafstandprobleem",
      "simple": "Leg punten op papier en verbind paren die precies één eenheid van elkaar liggen. Hoeveel verbindingen zijn mogelijk? AI vond verrassende voorbeelden.",
      "research": "OpenAI meldt een oneindige familie configuraties die de verwachte optimale roosterconstructies polynomiaal overtreft; externe wiskundigen controleerden het bewijs.",
      "academic": "De functie u(n) telt het maximale aantal paren op afstand één onder n punten. De nieuwe ondergrens bepaalt niet de exacte asymptotische groei.",
      "impact": "Nieuwe methoden voor combinatorische meetkunde.",
      "caution": "Extern nagekeken volgens de bron; geen volledige eigen audit of bevestigde tijdschriftbeoordeling."
    },
    "de": {
      "title": "Neue Konstruktion zum Einheitsabstandsproblem von Erdős",
      "simple": "Wie viele Paare von Punkten können auf Papier genau eine Einheit Abstand haben? Eine KI fand unerwartete Anordnungen.",
      "research": "OpenAI meldet eine unendliche Familie, die vermutete Gitterkonstruktionen polynomial übertrifft; externe Mathematiker prüften den Beweis.",
      "academic": "u(n) zählt die maximale Anzahl von Abstand-eins-Paaren. Die Verbesserung einer unteren Schranke bestimmt nicht den genauen asymptotischen Verlauf.",
      "impact": "Neue Ansätze in kombinatorischer Geometrie.",
      "caution": "Externe Prüfung laut Quelle; keine vollständige eigene Beweisanalyse."
    },
    "fr": {
      "title": "Nouvelle construction pour le problème des distances unitaires d'Erdős",
      "simple": "Combien de paires de points peuvent être séparées d'exactement une unité ? Une IA a trouvé des arrangements inattendus.",
      "research": "OpenAI annonce une famille infinie dépassant polynomialement les constructions de grille supposées optimales, contrôlée par des mathématiciens externes.",
      "academic": "u(n) compte le maximum de paires à distance unitaire. Une meilleure borne inférieure ne donne pas l'asymptotique exacte.",
      "impact": "Nouvelles pistes en géométrie combinatoire.",
      "caution": "Contrôle externe rapporté ; pas d'audit intégral par ce site."
    },
    "es": {
      "title": "Nueva construcción para el problema de distancia unitaria de Erdős",
      "simple": "¿Cuántas parejas de puntos pueden estar separadas por exactamente una unidad? Una IA encontró disposiciones inesperadas.",
      "research": "OpenAI presenta una familia infinita que supera por un factor polinómico las rejillas consideradas óptimas; matemáticos externos revisaron el argumento.",
      "academic": "u(n) es el máximo de pares a distancia unitaria. Mejorar su cota inferior no determina su comportamiento asintótico exacto.",
      "impact": "Nuevos métodos en geometría combinatoria.",
      "caution": "Revisión externa comunicada; sin auditoría completa propia."
    },
    "it": {
      "title": "Nuova costruzione per il problema delle distanze unitarie di Erdős",
      "simple": "Quante coppie di punti possono stare esattamente a una unità di distanza? L'IA ha trovato disposizioni inattese.",
      "research": "OpenAI presenta una famiglia infinita migliore delle griglie ritenute ottimali per un fattore polinomiale; matematici esterni hanno controllato l'argomento.",
      "academic": "u(n) è il massimo numero di coppie a distanza unitaria. Una stima inferiore migliore non determina l'asintotica esatta.",
      "impact": "Nuove strategie in geometria combinatoria.",
      "caution": "Controllo esterno riportato; nessuna revisione integrale svolta dal sito."
    }
  },
  "translation_method": "AI-assisted explanatory translations; not native mathematical peer review",
  "url": "https://appliedfrontier.nl/en/discoveries/erdos-unit-distance/",
  "as_of": "2026-10-29"
}